Entanglement e correlazioni

Entanglement è un concetto fondamentale nella meccanica quantistica che descrive una correlazione quantistica tra i sistemi quantistici. Quando due o più qubit sono entangled, lo stato di un qubit dipende dallo stato dell'altro qubit, anche se sono lontani. Questa correlazione quantistica è una funzionalità univoca dei sistemi quantistici che non ha una controparte classica.

Questo articolo offre una panoramica dell'entanglement, delle correlazioni e spiega come creare entanglement usando i gate quantistici.

Cos'è l'entanglement?

Si supponga di avere due qubit, $A$ e $B$. I qubit sono indipendenti l'uno dall'altro, il che significa che le informazioni sullo stato del qubit $A$, qualunque sia, appartengono solo al qubit $A$. Analogamente, le informazioni sullo stato del qubit $B$ appartengono a qubit $B$. In questo caso, i qubit non sono entangled, perché non condividono informazioni sui relativi stati.

Si supponga ora di creare un'entangle dei qubit. Se i $qubit A$ e $B$ sono entangled, le informazioni sullo stato del qubit A$ non sono indipendenti dallo stato del qubit $$B$. Quando è intangled, le informazioni vengono condivise tra entrambi i qubit e non è possibile conoscere lo stato del qubit A o del qubit $$B$.$ È solo possibile descrivere lo stato del sistema globale, non lo stato dei singoli qubit.

L'entanglement è una correlazione quantistica tra due o più particelle. Se due particelle sono entangled, non possono essere descritte in modo indipendente, ma solo come intero sistema.

Due o più particelle possono essere intangiate anche se sono separate da grandi distanze. Questa correlazione è più forte di qualsiasi correlazione classica ed è una risorsa chiave per le attività di elaborazione delle informazioni quantistiche, ad esempio teleportazione quantistica, crittografia quantistica e calcolo quantistico. Per informazioni su come teletrasportare un qubit usando l'entanglement, vedere questo modulo nel percorso di training di Azure Quantum.

Definizione dell'entanglement nei sistemi quantistici

Si immaginino due qubit $A$ e $B$ configurati in modo che lo stato del sistema globale $\ket{\phi}$ sia:

$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$

Il sistema globale $\ket{\phi}$ si trova in una sovrapposizione degli stati $|00\rangle$ e $|11\rangle$. Ma qual è lo stato individuale del qubit $A$? E del qubit $B$? Se si tenta di descrivere lo stato del qubit A$ senza considerare lo stato del qubit $$B$, si verifica un errore. I sottosistemi $A$ e $B$ sono entangled e non possono essere descritti in modo indipendente.

Se si misurano entrambi i qubit, sono possibili solo due risultati: $\ket{{00}$ e $\ket{{11}$, ognuno con la stessa probabilità di $\frac{1}{{2}$. La probabilità di ottenere gli stati $|01\rangle$ e $|10\rangle$ è zero.

Ma cosa accade se si misura un solo qubit? Quando due particelle sono entangled, anche i risultati della misurazione sono correlati. Ovvero, qualsiasi operazione accada allo stato di un qubit in una coppia entangled, influisce anche sullo stato dell'altro qubit.

Se si misura solo il qubit $A$ e si ottiene lo stato $|0\rangle$, significa che il sistema globale collassa allo stato $\ket{00}$. Questo è l'unico risultato possibile, poiché la probabilità di misurare $|01\rangle$ è zero. Quindi, senza misurare il qubit B$, è possibile assicurarsi che anche il secondo qubit $sia in $|0\rangle$ stato. I risultati della misura sono correlati a causa dell'entanglement dei qubit.

Lo stato $\ket{\phi}$ quantistico è denominato stato Bell. Ci sono quattro stati bell:

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

Creazione di un'entanglement con le operazioni quantistico

È possibile usare le operazioni quantistico per creare l'entanglement quantistico. Uno dei modi più comuni per creare l'entanglement a due qubit nello stato $|00\rangle$ consiste nell'applicare l'operazione $Hadamard H$ e l'operazione $NOT controllata CNOT$ per trasformarli nello stato $\ket{\phibell ^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$.

L'operazione $CNOT$ accetta due qubit come input, una funge da qubit di controllo e l'altra è il qubit di destinazione. L'operazione CNOT capovolge lo stato del qubit di destinazione se e solo se lo stato del qubit di controllo è $|1\rangle$.

Ecco come funziona:

1. Prendere due qubit con stato $|00\rangle$. Il primo qubit è il qubit di controllo e il secondo qubit è il qubit di destinazione.

2. Creare uno stato di sovrapposizione solo nel qubit di controllo applicando $H$.

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   Nota

   Gli pedice ${}_c$ e ${}_t$ specificano il controllo e i qubit di destinazione.

3. Applicare l'operatore $CNOT$ al qubit di controllo, che si trova in uno stato di sovrapposizione e al qubit di destinazione, che si trova nello stato $|0_t\rangle$.

   $$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$

Separabilità e entanglement quantistico

Entanglement può essere visto come la mancanza di separabilità: uno stato è entangled quando non è separabile.

Uno stato quantistico è separabile se può essere scritto come stato prodotto dei sottosistemi. Ovvero, uno stato $\ket{\phi}{\text{AB}}$ è separabile se può essere scritto come combinazione di stati di prodotto dei sottosistemi, ovvero{\text{$\ket{\phi} AB=}}\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$

Entanglement in stati puri

Uno stato quantistico puro è un singolo vettore di ket, ad esempio lo stato $\ket{+\frac{{1}{\sqrt{}={2}}(\ket{0} + \ket{1}).$

Gli stati puri non possono essere scritti come combinazione statistica (o combinazione convessa) di altri stati quantistici.

Sulla sfera Bloch gli stati puri sono rappresentati da un punto sulla superficie della sfera, mentre gli stati misti sono rappresentati da un punto interno.

Se non è possibile scrivere come combinazione di stati di prodotto dei sottosistemi, ad esempio{$\ket{\phi} AB}=\ket{a}_A \otimes\ket{b}_B$, un'interruzione dello stato}$$\ket{\phi}{ puro è entangled.

Si consideri ad esempio lo stato \ket{\psi}$$_{AB}\frac{={1}{2} ({00}\ket{ + +{10}\ket{01} \ket{+)\ket{{11}$$

In un primo momento, lo stato $\ket{\psi}_{AB}$ non è simile a uno stato del prodotto, ma se si riscrive lo stato come

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

lo stato _{\text{AB}}$ è uno stato $\ket{\psi}del prodotto, pertanto non è entangled.

Entanglement in stati misti

Gli stati quantistici misti sono un insieme statistico di stati puri. Per descrivere gli stati misti è più semplice usare la matrice $di densità \rho$ anziché la notazione ket.

Uno stato $misto \rho$ è separabile se può essere scritto come combinazione convessa di stati del prodotto dei sottosistemi, ad esempio

$$=\sum\rho _j p_j \rh^{A}_j \otimes \rh^{B}_j$$

dove $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ e $\rh^{A}_j \geq 0, \rho^{B}_j \geq 0$.

Per altre informazioni, vedere Matrici di densità.

Uno stato $misto \rho$ è entangled se non è separabile, ovvero non può essere scritto come combinazione convessa di stati del prodotto.

Informazioni sulle correlazioni classiche

Le correlazioni classiche sono dovute alla mancanza di conoscenza dello stato del sistema. Ciò significa che c'è una certa casualità associata alla correlazione classica, ma può essere eliminata acquisendo conoscenze.

Si considerino ad esempio due caselle, ognuna contenente una palla. Sai che entrambe le palle sono lo stesso colore, blu o rosso. Se si apre una scatola e si scopre che la palla all'interno è blu, allora sappiamo che anche l'altra palla è blu. Pertanto, sono correlati. Tuttavia, l'incertezza che abbiamo quando apriamo la scatola è dovuta alla nostra mancanza di conoscenza, non è fondamentale. La palla era blu prima di aprire la scatola. Si tratta quindi di una correlazione classica, non di una correlazione quantistica.

Lo stato quantistico misto del sistema formato dalle due caselle $\rho_{boxes}$ può essere scritto come

$$\rho_{boxes}=\frac{{1}{2} (\ket{rosso}\bra{rosso}_{A}\otimes\ket{rosso}\bra{}_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{blu}\bra{}_A\ket{\otimes blu}\bra{} blu_B)$$

Si noti che lo stato $\rho_{boxes}$ è separabile, dove $p_1 p_2 = =\frac{1}{2}$ quindi contiene solo correlazioni classiche. Un altro esempio di stato separabile misto è

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{0}\bra{{0}_A _B\ket{0}\bra{0}\otimes) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A _B)\otimes\ket{{1}\bra{{1}$$

A questo punto, considerare lo stato seguente:

$$\rho ={1}{4}\frac{(\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} \ket{{11}{11}\bra{+ ) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

In questo caso, la nostra conoscenza dello stato è perfetta, sappiamo con massima certezza che il sistema $AB$ è nello stato $\ket{\phiBell ^+}$ e $\rho$ è uno stato puro. Di conseguenza, non esistono correlazioni classiche. Tuttavia, se si misura un osservabile nel sottosistema $A$, si ottiene un risultato casuale che fornisce informazioni sullo stato del sottosistema $B$. Questa casualità è fondamentale, ovvero queste sono correlazioni quantistiche.

Un esempio di stato quantistico che contiene correlazioni classiche e quantistiche è

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

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